Az egyenlőtlenség és az egyenlőtlenség a rendszer az egyenlőtlenségek és tulajdonságaik
4. FEJEZET egyenlőtlenség és egyenlőtlenség a rendszer
4.1. Egyenlőtlenségek és azok tulajdonságait
Egyenlőtlenség - közötti arány jelöli, melyek azok, amelyek nagyobb (nagyobb vagy egyenlő) vagy kevesebb (kisebb vagy egyenlő) a másik.
Felvétel és azt jelenti, hogy nem egyenlő.
Ha a> jel tartalmazza a egyenlőtlenség vagy vagy. és a másik - a jele, B és C> D ugyanaz az előjele, és a egyenlőtlenséget: A D - ellenkező előjelű.
Tulajdonságok numerikus egyenlőtlenségeket.
1) Ha a> b, akkor b b.
2) Ha a> b és b> c, akkor a> c.
3) ^ Amennyiben a> b, akkor bármely c: a + c> b + c, azaz, egyenlőtlenség érvényes marad, ha mindkét részeit hozzá ugyanazt a számot.
Következmény. Bármennyi lehet át az egyik oldalon a másik, változó a jele a szám át az ellenkező.
4) Ha a> b, és a> 0, akkor ac> bc; ha a> b és b u c> d, az a + c> b + d;. azaz két azonos jele egyenlőtlenség termwise szeres, ha a> b u c b-d; Két ellenkező előjelű egyenlőtlenség lehet kivonni, így annak a jele, egyenlőtlenség, melyből levonjuk a másik egyenlőtlenség.
6) Ha a, b, c, d - pozitív egész szám, és a> b, c> d, az AC> bd, azaz ugyanaz az előjele az egyenlőtlenség, ahol a bal és jobb oldali pozitív, az egyik tud szaporodni termwise; ez adja a egyenlőtlenség jele w e.
7) Ha ^ a és b - egy pozitív szám, és a> b, akkor bármely természetes szám n, a következő egyenlőtlenség AN> Mrd.
8) Ha A és B - egy pozitív szám, és a> b, akkor bármely n> 2 egyenlőtlenséget.
Tulajdonságok 1) - 8) is érvényesek, nem szigorú egyenlőtlenségeket. Ez következik a érvényességét a tulajdonságok 1) - 8) szigorú egyenlőtlenségek és az ismert tulajdonságait numerikus egyenletek.
Például, ha a ≥ b, majd b ≤a, és fordítva, ha b ≤a. majd a ≥ b.
Tulajdonságok 1) - 8) szerelt numerikus egyenlőtlenségek tartsa bármely egyenlőtlenségek Form A> B, A VA + C> B + C,
ahol a kifejezések, B, C, amelyek az általános részét tűrési tartományon.
4.2. Igazolása bizonyos egyenlőtlenségek
Tekintsük először a bizonyíték néhány főbb egyenlőtlenségeket.
2). ahol az egyenlőség elérését csak abban az esetben, ha a és b számok azonos jeleket, vagy legalább egyikük értéke nulla. Mivel, majd a kívánt egyenlőtlenség formáját ölti, és ez az egyenlőtlenség négyzetre emelés, hogy egyenértékű, azaz, ≤ ab | ab |, ez nyilvánvaló. Egyenlőtlenség bizonyult.
3) | a - b | ≥ | és | - | b |. Valójában, a = (a - b) + b. ezért
4) AX2 + bx + s≥ 0, ha a> 0, és D = b2-4as≤0. A egyenlőség csak úgy érhető el, ha a D = 0, és x =.
5) Ha a ≥ 0, b ≥ 0. egyenlőség eléréséig csak a = b.
A szám az átlagos és b számok, és a számok - azok geometriai átlag.
A számtani középértéke két nem negatív egész nem kevesebb, mint a mértani átlag:
Ennek bizonyítására vesszük a különbséget.
Ennélfogva, az egyenlőséggel csak akkor érhető el, ha ez lehetséges, csak a = b.
A fogalmak a számtani átlag és a geometriai átlag beírandó és n nemnegatív számok a1, a2, .... an.V Ebben az esetben az egyenlőtlenség: hol az egyenlőség csak úgy érhető el, ha a1 = a2 = ... = an.
6) ha a> 0 és b> 0, az egyenlőséggel csak akkor érhető el, ha a = b. Sőt, a számok pozitívak. Ezért, a számtani átlagos számokat, és nem kevesebb, mint a mértani átlag: vagy; egyenlőség csak akkor, ha =, azaz ha a = b. mivel a és b - pozitív.
Azt viszont, hogy a bizonyítási bonyolultabb egyenlőtlenségeket. Módszerek a bizonyítás a következők:
Kívánt egyenlőtlenség transzformációk tulajdonságai alapján az egyenlőtlenségek és megőrzése egyenértékűség egyenlőtlenségek csökkentése, amelyről ismert, az igazságért.
Azáltal egyenértékű transzformációk nyilvánvaló vagy ismert egyenlőtlenség csökkenthető a kívánt egyenlőtlenséget.
Keverjük össze az első és a második eljárás, azaz a átalakítani az ismert és bizonyított egyenlőtlenség.
A E módszerek alkalmazásával a következő példák mutatják.
Határozat. Hozzáadott három jól ismert egyenlőtlenségek:
2. példa Annak bizonyítására, hogy (a + b) (b + c) (a + c) ≥8abc. ha egy, b.c≥0.
Határozat. Megszorozzuk az egyenlőtlenség ,.
3. példa Annak bizonyítására, hogy ha a> 0, 0, 0, b> 0.
Határozat. Feltételezve írunk szükség egyenlőtlenség (x> 0, y> 0), amely egyenértékű az ismert x3 + y3> xy (x + y) (lásd. Egyenlőtlenség 7)). Egyenlőtlenség bizonyult.
^ 4.3. Megoldás egyenlőtlenségek egy ismeretlen
Definíció. Megoldás az egyenlőtlenség értékének nevezzük az ismeretlen, amelyben ez az egyenlőtlenség válik igazi numerikus egyenlőtlenség.
* Oldja meg az egyenlőtlenséget - ez azt jelenti, hogy megtalálja az összes értéket az ismeretlen, amelyben ez az egyenlőtlenség igaz, vagy annak megállapítása, hogy ezek az ismeretlen értékek nincsenek jelen.
Két egyenlőtlenségek nevezzük equipotens ha minden megoldása egyikük egy olyan megoldás, hogy a másik, és fordítva. Ha mindkét egyenlőtlenségek nincs megoldás, ők is azonos. Például, x2 + x4 + 1 4. 0.
Ez az egyenlőtlenség lehet írott formában ax> -b. Ezért megkapjuk, ha a> 0, és, ha a 0, ha a 3 (x - 2) - 4 (x + 1).
Leegyszerűsítjük mindkét oldalán a egyenlőtlenséget: felfedi a konzolok és hasonló kifejezések. Mi így 2 - 6 - 1> 3 - 6-4 - 4 2x-7> a 10. 3-X> -3; Ez azt jelenti, x> -1 - az első fokú egyenlőtlenségek.
A készlet minden egész számok x, amelyek megfelelnek az egyenlőtlenséget x> - 1 ábrázolt valós tengelye a gerenda (1; + ∞).
Példa 1. Oldjuk egyenlőtlenségek 2 (X - 1) + 1> 3 - (1 - 2).
Határozat. Egyszerűsítése egyenlőtlenség, megkapjuk 2 - 2 + 1> 3 - 1 + 2,
2x-2x> 2 + 1 vagy 0> 3. Ez az egyenlőtlenség nem megoldásokat, mint a bal oldalon egyenlő nullával minden x, és a egyenlőtlenség 0> 3 - rossz.
A válasz röviden így írható: (nincs döntés).
^ 4.3.2. négyzet egyenlőtlenség
Tér vagy egyenlőtlenség egyenlőtlenség nevezett második fokú egyenlőtlenség formájában AX2 + bx + c V 0 (a ≠ 0); ahol a, b, c - előre meghatározott szám, X - ismeretlen, és a szimbólum V bármelyike lehet a címkék> 2 + bx + c (a ≠ 0). Bemutatjuk, kiemelve a konzolok és a teljes tér, írja a másodfokú trinomiális formájában:
ahol D = b2-4as - diszkriminánsa másodfokú polinom. Az alábbi esetekben:
b) ha a 2 + bx + c 2. Ebből következik, hogy abban az esetben,
D = b2-4ac 2 + bx + c> 0, és AX2 + bx + c ≥ 0 megoldást mind valós számok x egy> 0, és nincs megoldás a 2-4as bx + c 2+ 2+ bx + c ≤0 nem megoldások a> 0, és az összes érvényes megoldás számos x 2; ha azt feltételezi, a nulla értéket.
Ezért, abban az esetben, ^ D = 0: 1) egyenlőtlenség AX2 + bx + c> 0 jelentése minden megoldás, ha a> 0, és nincs megoldás, ha a2 + bx + c 0;
3) az egyenlőtlenséget AH2 + bx + s≥ 0 bármilyen oldat X. ha a> 0. és egy egyedülálló megoldás, ha a2 + bx + c 0 ≤ x bármilyen megoldás. Ha a 0.
III. D> 0. Ebben az esetben a négyzet alakú trinomiális lehessen venni: AH2 + bx + c = a (x-x1) (x-x2), ahol X1 és X2 - valódi és elkülönült gyökerek másodfokú polinom AH2 + bx + c = 0.
Adunk egy geometriai értelmezést. Ütemezése másodfokú polinom y = AX2 + bx + c (a ≠ 0) egy parabola. A helyszín ez a parabola képest az x-tengely különböző esetekre ábrán látható. 4.1.
Grafikus módja Másodfokú egyenlőtlenségek fog foglalkozni 4.7.
Példa. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget:
a) x 2 - 5x + 6> 0; b) -2x 2 + x + 1 ≥ 0; c) -2x 2 + x - 1 0; másodfokú polinom gyökerek valós és elkülönült: x1 = 2, x2 = 3. Következésképpen, h2-5h + 6 = (x2) (x 3), és ez az egyenlőtlenség válik (x2) (X - 3)> 0.
Megoldás A egyenlőtlenség száma x 3 (mind pozitív tényező, és a terméket a pozitív).
b) D = 1 -4 ∙ (-2) = 9> 0; másodfokú polinom gyökerek valós és határozott: ahol tehát már .vagy (elosztjuk mindkét oldalán az egyenlőtlenség negatív szám az egyenlőtlenség előjel). Egyenlőtlenség kielégíti az összes számot az intervallumban
a) D = 1-4 ∙ (-2) (-1) 2 negatív. Szögletes trinomiális -2h2 + x - 1 minden x mindössze negatív értékeket.
Válasz. x - minden számot.
^ 4.4. Systems egyenlőtlenségek egy ismeretlen
Hagyja néhány egyenlőtlenségek egy ismeretlen.
Az ezek kombinációja egyenlőtlenségek nevezik egyenlőtlenségrendszer egy ismeretlen. Megoldás a rendszer - az az érték, az ismeretlen, amelyben minden rendszer az egyenlőtlenség fordul a megfelelő numerikus egyenlőtlenség.
Oldja meg a rendszer egyenlőtlenségek - ez azt jelenti, hogy megtalálja az összes megoldást a rendszer vagy annak megállapítása, hogy nem azok.
Két rendszer egyenlőtlenségek nevezett equipotens ha minden megoldása egyikük egy olyan megoldás, hogy a másik, és fordítva. Ha mindkét rendszer egyenlőtlenségek nincs megoldás, ők is egyenértékűnek tekintendők.
Példa. Oldja meg a rendszer az egyenlőtlenségek
Határozat. Nézzük megoldani az első egyenlőtlenséget: Sx -2-4. Ez tart az x> -2. Megoldjuk a második egyenlőtlenséget: 2x-1> 5x-4 -3H> -3, x 0 jelentése ugyanaz, mint a kettős egyenlőtlenséget
azaz ha a> 0, az egyenlőtlenség (4.5.1) egyenértékű az egyenlőtlenség (4.5.2).
Valóban, ha x> 0, | x | = X; egyenlőtlenség | x | és (4.5.3)
ahol a> 0 azt jelzi, hogy x> A és X egy; ha X vagy X és egy (a> 0), akkor nyilvánvaló, | x |> a; ha x jelentése 0), a -x> és vagy | x |> a.
Így a | X |> egy (a> 0) azt jelenti, hogy a valós tengelyen x fekszik a jogot vagy egy vagy balra s pont (4.4 ábra.).
Példa. Hogy oldja meg az | 2x -3 | ≤5.
Határozat. Az ingatlan 1) Ez az egyenlőtlenség egyenértékű a kettős egyenlőtlenséget -5≤2h-3≤5. Mivel a kettős egyenlőtlenséget --5≤2h-3≤5 jelenti jotting két egyenlőtlenségek -5 ≤ 2x - 3 és 2 - 3 ≤5. lehetőség van arra, hogy alkalmazza az alapvető tulajdonságait egyenlőtlenségeket. Úgy, hogy minden oldalon a egyenlőtlenség - 5≤2h - 3≤5 szám 3. get -2≤2h≤8 ahol elosztjuk mindkét oldalán a 2-es szám, azt találjuk, hogy 1 ≤x≤4. Megoldások sokaságát az az időköz [-1; 4].
Példa. Hogy oldja meg az | 1 - X |> 3.
Határozat. Mivel | 1 -x | = | x-1 |, van | x - 1 |> 3. A Property 2) Ez az egyenlőtlenség teljesül csak akkor, ha x - 1> 3 vagy x - 1 x 4 vagy 4 x 2 + 4 + 4 + 2 2 3 2. Keresse meg a gyökereket x1 = 1 és x 2 = 2 elbontására a négyzet szorzók trinomiális: x2 + 3 2 = (x1) (x2).
X = 1 és X = 2 van osztva három numerikus intervallum tengelyen. A bővítés másodfokú polinom, ebből következik, hogy minden ilyen időközönként trinomiális megtartja jel. Ha mozognak a valós tengelyen balról jobbra, a jele másodfokú polinom fog változni: plusz, mínusz, plusz az előjel változás csak akkor következik be, amikor áthalad a gyökér a háromtagú. A karaktersor ábrán látható. 4.5.
Szögletes trinomiális x2 + 2x 1 = (X - 1) 2, amikor áthalad a ponton x = 1 (a gyökér trinomiális) nem változik jel (4.6 ábra.).
Az oldat formájában (4.6.1) szerint az egyenlőtlenségek időközönként kell:
megtalálja az összes valós gyökereit a polinomok P (x), Q;
hagyja csak a gyökerek által talált, akik nem is a gyökerek a polinomok P (x) és a q (x) és gondoskodjon ezek a gyökerek emelkedő sorrendben: x12 + 2x + 2 és - 2x2 + x-1 negatív. Ezért trinomiális értékeket vesz fel az azonos jel, amely egybeesik a jele az együttható x 2:. x2 + 2x + 2> 0. -2h2 + X - 1 márciusban "vizsgálati pontok" vehet x = 0; x = 1,5; x = 2,5; x = 4. Azon a ponton, x = 0 frakció; Ez azt jelenti, ha x 2≥ 0 (X - 3) 4≥ 0, (x + 2) 3, ugyanazon polaritásra (x + 2) minden egyes X; X = 0 - oldatának ezt az egyenlőtlenséget, ha x = 1, X = - 1, X = 3 frakció értelmetlenné válik. megkapjuk az egyenlőtlenség
és mi megoldjuk azt időközönként (ábra. 4.8). Van ≤h 3 -2.
^ 4.7. Grafikus megoldás az egyenlőtlenségek és rendszerek
4.7.1. Egyenlőtlenségek egy ismeretlen és rendszerek
Example1. Problémák grafikusan egyenlőtlenség - 3h2- 5x + 2> 0.
Határozat. Graph -3h2- trinomiális y = 5x + 2 - parabola ágai, amelyek lefelé irányulnak. Találunk a gyökerek a háromtagú: x1 = - 2 és x2 = 1/3. Ezért parabola metszi az x-tengely mentén ezeket a pontokat (ábra. 7.9). -3h2- egyenlőtlenség 5x + 2> 0 megfelelnek ezeknek x értékei. ekkor a parabola fölött fekszik az x tengely, azaz, ilyen száma X. hogy 1 -2.
Beépített jobb x + 2y> 1. Ez a vonal nem halad át az origón. Ezért, mint a kontroll pont célszerű, hogy az O pont (0, 0). Behelyettesítve a pont koordinátáit O (0, 0) az egyenlőtlenség, megkapjuk hibás egyenlőtlenség 0> 1. Ez azt jelenti, hogy az O pont (0, 0) nem tartozik az egyenlőtlenséget megoldásokat. Más szóval, a fél-sík, a következő egyenlőtlenség definiálja nem tartalmaz az O pont (0, 0). Ábra. 4.11 Kötelező félig árnyékos.
Általában a készlet egyenlőtlenségek a megoldás korlátos vagy korlátlan régióban a sík X0Y. vonal, pont, az üres halmaz.
2. példa: oldja grafikusan egyenlőtlenségrendszer
Határozat. Mivel x 2 + y 2. Az oldatot halmaza egyenlőtlenségek x + y 2, és az y = x - 1. A készlet adott egy rendszer egyenlőtlenségeket, áll pontok feküdt a parabola y = 1 - x2 vagy az alatti, és ezzel egyidejűleg az egyenes y = x -1, vagy felette (ábra . 4.13).