Átlagértékeket és variációi mutatók
Fogalma, típusai átlagok
Az átlagos érték - olyan összefoglaló mutató statisztikai sokaságot, amely visszafizeti a egyéni különbségeket statisztikai értékek az értékek, így összehasonlítani a különböző egymással kombinálva.
A strukturális közeget tartalmaznak mód és medián. de a leggyakrabban használt médium különféle erő.
Teljesítmény átlagértékek
Az átlagos teljesítmény lehet egyszerű vagy súlyozni kell.
Az egyszerű átlag értéket számítunk, amikor két vagy több csoportosított statisztikai értékek rendezett tetszőleges sorrendben a következő általános képletű:
A súlyozott átlagos érték által kiszámított statisztikai értékek csoportosíthatók a következő általános képletű:
ahol X - különálló értékek vagy statisztikai értéke segítségével csoportosítás időközönként;
m - kitevő értéke függ a következő típusú erejét átlagok:
amikor m = -1 harmonikus közép;
amikor m = 0 geometriai átlag;
ha m = 1, a számtani átlaga;
ha m = 2 átlagos négyzetes;
amikor m = 3, az átlagos köbös.
Az általános képletű és egy egyszerű súlyozott átlagok különböző kitevőkkel m, megkapjuk a privát képletű egyes fajok, amelyek tovább tárgyaljuk részletesen.
számtani átlaga
A számtani közép - ez a leggyakrabban használt az átlagos érték, amelyet úgy kapunk, helyettesítésével az általános képletben m = 1. Egyszerű számtani átlaga az alábbiak szerint:
ahol X - az értékeket, amelyekre szükség van, hogy számítsuk ki az átlagos értéket; N - teljes száma X értékek (az egységek száma a célpopulációban). Például, a tanuló telt vizsgálat és 4 megkapta a következő értékelési: 3, 4, 4, és 5. számoljuk ki az átlagos pontszámot az egyszerű számtani átlag képlet: (3 + 4 + 4 + 5) / 4 = 16/4 = 4.
Súlyozott átlag a következő:
ahol f - értékek számát az azonos értékű X (frekvencia). Például, a tanuló telt vizsgálat és 4 megkapta a következő értékelési: 3, 4, 4, és 5. Kiszámítjuk az átlagos pontszámot a súlyozott átlag képletű: (3 * 1 + 4 * 2 + 5 * 1) / 4 = 16/4 = 4.
Ha az X megadott érték formájában időközönként, majd a számításokat használnak közepén X bővítőhely, melyek meghatározása a felét az összeg a felső és alsó határát az intervallumban. A slot X, ha nincs alsó vagy felső határa (nyitott intervallum) majd alkalmazza a helyét tartományban (különbség a felső és az alsó határ) szomszédos intervallum X.
Például, a cég 10 alkalmazottal tapasztalattal legfeljebb 3 év, 20 - a tapasztalat 3 és 5 év, 5 főt - a tapasztalat több mint 5 éve. Ezután számítsuk ki az átlagos szolgálati idő a munkavállalók képlet súlyozott átlag figyelembe X középső időintervallumokban (2, 4 és 6 éves kor között):
(2 * 10 + 4 * 20 + 6 * 5) / (10 + 20 + 5) = 3,71 év.
A számtani átlag használják a leggyakrabban, de vannak esetek, amikor ez szükséges használni más típusú átlagok. Tekintsük ilyen esetben további.
harmonikus középérték
Az átlagos harmonikus akkor használjuk, ha a forrás adatok nem tartalmaznak az f frekvencia az egyes értékek X, és ezek a termék kerül bemutatásra, mint Xf. Jelölő Xf = W, kifejezzük F = W / X, és helyettesítjük ezeket a megnevezéseket képletű súlyozott átlag, megkapjuk képletű súlyozott harmonikus átlaga:
Így az átlagos súlyozott harmonikus alkalmazzák, amikor az ismeretlen f frekvenciával, és az ismert w = Xf. Azokban az esetekben, ahol az összes w = 1, azaz, az egyes x értékei egymástól találhatók 1 alkalommal, használja a képlet egyszerű harmonikus átlaga:
Például, az autó haladt pontból a B pont sebességgel 90 km / h, és vissza - sebességgel 110 km / h. Ahhoz, hogy meghatározzuk az átlagos sebessége alkalmazni képletű szekunder harmonikus egyszerű, mint a példában megadott W1 távolság = w2 (a távolság pont a B pont, mint például a B-A), amely a termék a sebesség (X) időpontban (f) . Az átlagos sebesség = (1 + 1) / (1/90 + 1/110) = 99 km / h.
A geometriai átlag
A geometriai átlag meghatározásakor alkalmazott átlag relatív változások, amint az a témában idősor. Mértani átlag érték biztosítja a legpontosabb eredményt átlagolás, ha a feladat az, hogy megtaláljuk az ilyen értékek X, az lenne egyenlő távolságra mind a maximális és minimális értékei X.
négyzetes közép
RMS alkalmazható abban az esetben, ha a kezdeti értékek X lehet pozitív és negatív, például kiszámítása során az átlagos eltérés.
A fő alkalmazási területe a mérése a mean-square értékek variációs X, ami lesz szó ebben a fejezetben.
átlagos köbös
Átlagos köbméter ritkán használják, például a számítás a humán szegénységi index a fejlődő országokban (HPI-1) és a fejlett (HPI-2) javasolt és kiszámított az ENSZ.
strukturális átlagok
statisztikai divat
Statisztikai divat - ez a leggyakoribb érték X értékek statisztikai sokaság.
Ha X diszkrét halmaz. Az üzemmód határozza kiszámítása nélkül a jellemző érték a legmagasabb frekvencia. A statisztikai lakosság 2 és több divat, akkor minősül bimodális (két, ha a divat) vagy multimodális (ha több mint két mód), és ez azt bizonyítja, hogy a heterogenitás a lakosság.
Például a vállalat alkalmaz 16 fő: 4 közülük - a tapasztalat 1 év, 3 fő - a tapasztalat 2 év, 5 - a tapasztalat 3 év és 4 fő - a tapasztalat 4 év. Így, a hossza a modális Mo = 3 év, mivel a frekvencia a maximális érték (F = 5).
Ha X értéke egyenlő időközönként. Az első modális meghatározott intervallum intervallum a legmagasabb frekvencia f. Ezen a tartományon belül a szokásos módon képlet alapján:
ahol Mo - divat;
HNMo - az alsó határ a modális intervallum;
HMO - modális osztásérték (különbség a felső és alsó határoló);
Munster - modális frekvencia intervallum;
Munster-1 - frekvencia intervallum előző modális;
Munster + 1 - frekvencia intervallum követi a modális. Például, a cég 10 alkalmazottal tapasztalattal legfeljebb 3 év, 20 - a tapasztalat 3 és 5 év, 5 főt - a tapasztalat több mint 5 éve. Számítsuk ki a modális eltöltött modális tartományban 3 és 5 év: Mo = 3 + 2 * (20-10) / (2 * 20-10-5) = 3,8 (év).
Ha más méretű órás időközönként helyett az f frekvencia kell használni időközönként sűrűség kiszámításához a f frekvencia söpörni intervallum h.
statisztikai medián
Statisztikai medián - értéke X, amely elválasztja rendezett növekvő vagy csökkenő statisztikai aggregátum 2 egyenlő részre száma. Ennek eredményeként, az egyik fele az érték nagyobb, mint a medián és a többi - kisebb, mint a medián.
Ha X diszkrét halmaz. hogy meghatározzuk a medián összes értékeinek számozása 0 és N növekvő sorrendben. akkor a medián páros szám N fog feküdni félúton a számok X c 0,5 N és (0,5 N + 1), és páratlan számú N egyenlő az X érték a számot 0,5 (N + 1).
Például, bizonyíték van arra, hogy milyen korú részmunkaidős diákok egy 10 fős csoportnak - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 éve. Ezek az adatok már növekvő sorrendben, és az N szám = 10 - sőt, úgy lesz a medián közötti számok X 0,5 * 10 = 5 (0,5 * 10 + 1) = 6, értékének megfelelő X5 = 21 és X6 = 23, akkor a medián: Me = (21 + 23) / 2 = 22 (év).
Ha X értéke egyenlő időközönként. Először meghatározzuk a medián intervallum (intervallumot, amelyben végződik az egyik fele a frekvenciák f start és a másik fele), amelyek feltételes medián értéke a következő képlet:
ahol Me - medián;
HNMe - az alsó határ a medián intervallum;
HME - medián söprés intervallum (különbség a felső és az alsó határ);
FME - medián frekvencia intervallum;
FME-1 - összeg gyakorisága időközönként megelőző medián. A korábban csak a példa kiszámításakor modális idő (a növény 10 főt, akik már akár 3 év, 20 - a tapasztalat 3 és 5 év, 5 főt foglalkoztató - tapasztalt 5 év alatt) kiszámítja a hossza a medián. Felét az alkalmazottak száma (10 + 20 + 5) / 2 = 17,5 és tárolják a tartományban 3-5 év, és az első intervallum legfeljebb 3 éves korig - 10 fő csak, mivel az első két - (10 + 20) = 30, vagyis több, mint 17,5, majd időközökkel 3-5 év - medián. Belül meghatározza a feltételes medián értéke: Me = 3 + 2 * (0,5 * 30-10) / 20 = 3,5 (év).
Mivel abban az esetben, a divat, annak eldöntésében, hogy a medián söprés h különböző időközönként helyett az f frekvencia kell használni a sűrűség időközönként kiszámítani az f frekvencia söpörni intervallum h.
mutatók változása
A skála a variáció
A skála a változás - a különbség a legnagyobb és legkisebb értékeit X rendelkezésre statisztikai populációban:
A hátránya, a kitevő H, hogy csak azt mutatja, a maximális értékek közötti különbség az X csoportot, és nem méri a hatása variációs teljes egészében.
ÁTLAGOS lineáris eltérést
ÁTLAG lineáris eltérést - X jelentése az átlagos modulus értékeinek eltérések számtani középérték. Meg lehet kiszámítani egyszerű számtani átlagát képletű - kapjunk egy egyszerű átlagos lineáris eltérést:
Például, a hallgató levizsgázott és 4 megkapta a következő értékelési: 3, 4, 4, és 5. Azt már kiszámított számtani átlaga = 4. Kiszámítjuk az átlagos lineáris eltérést egyszerű: A = (| 3-4 | + | 4-4 | + | 4-4 | + | 5-4 |) / 4 = 0,5.
Ha az eredeti adatok vannak csoportosítva X (rendelkezésre álló frekvenciák f), a számítás az átlagos eltérés végzi lineáris képletű súlyozott átlag - megkapjuk a súlyozott átlagos lineáris eltérést:
Visszatérve a például körülbelül egy diák, aki telt vizsgálatot, és a 4. megkapta a következő értékelési: 3, 4, 4, és 5. Azt már kiszámított számtani átlag = 4 jelenti lineáris eltérést egyszerű = 0,5. Számítsuk ki a szórása a súlyozott átlagos lineáris: R = (| 3-4 | * 1 + | 4-4 | * 2 + | 5-4 | * 1) / 4 = 0,5.
A lineáris variációs koefficiens
Lineáris variációs együttható - az arány az átlagos lineáris eltérést a számtani átlaga:
A lineáris variációs koefficiens lehet hasonlítani azoknak a változásoknak a különböző populációk, mert ellentétben lineáris eltérése az átlagos értéke nem függ az egységek X.
Ebben a példában, egy diák, aki telt vizsgálatot, és a 4. megkapta a következő értékelési: 3, 4, 4 és 5, a lineáris variációs koefficiens 0,5 / 4 = 0,125, illetve 12,5%.
Diszperziós - az átlagos négyzetes értékeinek X eltérések a számtani átlaga. A diszperzió lehet kiszámítani egyszerű számtani átlagát képletű - kapjunk egy egyszerű diszperzióját:
Mint már tudjuk a példa egy diák, aki letette a vizsgát, és kapott egy 4 Pontok: 3, 4, 4, 5, korábban számított számtani átlaga = 4. Ekkor a szórás egy egyszerű D = ((3-4) 2 + (4-4 ) 2 + (4-4) 2 + (5-4) 2) / 4 = 0,5.
Ha az eredeti adatok vannak csoportosítva X (rendelkezésre álló frekvenciák f), a szórásnégyzet-számító végezzük az alábbi képlet szerint súlyozott átlag - kapjunk súlyozott variancia:
Ebben a példában, egy diák, aki telt vizsgálatot, és a 4. megkapta a következő értékelési: 3, 4, 4 és 5, kiszámítja a súlyozott varianciája: E = ((3-4) 2 * 1 + (4-4) 2 * 2 + (5 -4) 2 * 1) / 4 = 0,5.
Ha konvertálni a diszperziós formula (hogy nyissa ki a zárójelben a számlálóban Terminusonként osztva a nevező és vezet hasonlók), akkor kap egy képletet, mint a különbség az átlagos terek és a tér az átlag:
A fenti példában az általunk ismert a hallgató, aki letett vizsga és 4 megkapta a következő alapján: 3, 4, 4 és 5 kiszámítja az átlagos szórás módszerével különbség terek és egy négyzet átlag:
D = (3 2 * 1 + 4 2 * 2 + 5 2 * 1) / 4-4 2 = 16,5-16 = 0,5.
Ha X értéke - a lakosság aránya. A diszperziókat kiszámításához, a diszperziós saját képlet:
átlagos eltérés
Már beszéltünk a képlet jelenti téren. amelyet értékelésére variáció szerint a szórás számítása. jelöljük kis görög betű szigma:
Még könnyebb, megtalálja a szórást. ha az előre számított variancia, négyzetgyöke, amely:
A példában a tanuló, amelyben a fenti diszperziót számítjuk. megtalálni a szórás, mint a négyzetgyök amelynek :.
Másodfokú variációs koefficiense
Másodfokú variációs együttható - a legnépszerűbb változata relatív mértéke:
Kriteriális értékét négyzetes variációs koefficiens 0,333 V vagy 33,3%, azaz, ha V-nél kisebb vagy egyenlő 0,333 - variáció tartja a gyenge, és ha több mint 0333 - erős. Abban az esetben, markáns különbségek a vizsgált statisztikai populáció tekinthető nem egyenletes. és az átlagos érték - a szokásostól eltérő, és nem lehet használni, mint egy általános mutatója ebben a populációban.
A példában a tanuló, amelyben a fenti számított átlagos eltérés. megtalálják a kvadratikus variációs koefficiens V = 0707/4 = 0,177, ami kevesebb, mint a kriteriális értéke 0,333, akkor a variáció gyenge és egyenlő 17,7%.
Előző előadás. A következő előadás.
