A háromszög területe 3

Az alábbiakban képletek tetszőleges háromszög találni területek, amelyek alkalmasak a megállapítás olyan háromszög területe, függetlenül annak tulajdonságait, vagy sarkot méretben. A képleteket formájában képeket, itt megtudhatja, hogyan kell használni, vagy igazolják azok helyességét. Szintén külön ábrán illő a betűk a képletek és grafikus szimbólumok a rajzban.

Megjegyzés. Ha a háromszög speciális tulajdonságai (egyenlő szárú derékszögű, egyenlő oldalú), akkor a képlet az alábbiakban megadott, és további speciális, csak a jobb oldali háromszög ezekkel a tulajdonságokkal, a képlet:

Formula háromszög területe

Magyarázat a képleteket.
a, b, c - a hossza az oldalán egy háromszög, egy olyan területen akarjuk találni
r - a sugara a beírt kör
R - a kör sugara körül a háromszög
H - magassága a háromszög, csökkent az oldalsó
p - félig kerülete a háromszög, a összege 1/2 annak oldalai mentén (kerülete)
α - szög, szemben egy oldalán a háromszög
β - a szög szemközti oldalán a háromszög b
γ - szög háromszög szemközti oldalon c
ha.hb, hc - magassága a háromszög, leengedte az oldalán egy. b. c

Felhívjuk figyelmét, hogy ezek a jelölések megfelelnek az a szám, amely nagyobb, mint a megoldása az igazi a geometria a probléma meg vizuálisan könnyebb helyettesíteni a megfelelő helyen, a képlet helyes értékeket.

• A terület a háromszög egyenlő fele a termék a magassága a háromszög, hogy a hossza az oldalon, amelyre ezt a magasságot csökkentjük (Forma 1). A helyességét ezt a képletet lehet érteni logikailag. Magasság, leesett a hordozó megtöri tetszőleges háromszög két jobb. Ha kivitelben mindegyik egy négyszög, a méretek, b és h, akkor nyilván Háromszögmódszert adatterület egyenlő pontosan a fele a terület egy téglalap (SPR = bh)
• A terület a háromszög egyenlő fele a termék a két oldalának a szinusz a köztük lévő szög (2 képlet) (lásd. Példa a probléma megoldásának segítségével ez a képlet az alábbiakban). Annak ellenére, hogy úgy tűnik, ellentétben az előzővel, akkor könnyen átalakul bele. Ha a szög a B, hogy csökkentse a magassága a b oldal, kiderül, hogy a munka egy részét sine a szög γ a szinusz tulajdonságokat egy derékszögű háromszög egyenlő a magassága a háromszög által rajzolt nekünk, hogy megadja nekünk az előző képlet
• Tetszőleges háromszög területe megtalálható a termék felének sugara a beírt kör a hosszának összegét az oldalán (Formula 3), más szóval meg kell szorozni a háromszög semiperimeter sugara a beírt kör (így könnyebb megjegyezni)
• Önkényes háromszög területe megtalálható elosztjuk a termék mind a négy oldalán a kör sugara körülírt körül (4 általános képletű vegyület)
• 5 képletű jelentése meghatározása háromszög területe révén a hossza az oldalán és a felezési kerülete (fele összege annak minden oldalát)
• Heron-képlet (6) - egy reprezentációja azonos képlet használata nélkül a koncepció semiperimeter csak a hossza az oldalán
• Terület tetszőleges háromszög egyenlő a termék a tér oldalán a háromszög a melléküregek szomszédos ezen az oldalán szögek osztva a szinusz a kettős szög oldalán ellentétes e (7 képlet)
• Önkényes háromszög területe található, mint a termék a két négyzet köré rajzolt a kerülete a szinuszok a sarkaiban. (8-as képlet)
• Ha a hossza az egyik oldalon ismert és az értékek a két sarkában azzal szomszédos, a háromszög területe található, mint a négyzet oldalainak osztva a dupla mennyiségű cotangents ezek a szögek (9 képlet)
• Ha csak egy ismert mindegyikének hossza a háromszög magassága (10) képletű vegyület, a háromszög területe fordítottan arányos a hossza ezen magasságok, mind a Formula Heron
• Formula 11 lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámítja a háromszög területe a koordinátákat a csúcsok. meghatározása a értékeket (x; y) az egyes csúcsok. Vegye figyelembe, hogy az így kapott értéket kell figyelembe abszolút értékben, mivel a koordinátákat az egyén (vagy akár az összes) csúcsok lehetnek a negatív tartományban

Megjegyzés. Az alábbi példák a problémamegoldás, találd meg a háromszög területe a geometria. Ha meg kell megoldani a problémát a geometria hasonló nincs - írja róla a fórumban. A döntések a sqrt () funkció használható helyett „négyzetgyök” szimbólum, amely SQRT - négyzetgyökét szimbólum, és zárójelben a kifejezés alatt a radikális. Előfordul, hogy a jel használható egyszerű radicands √

oldalán a háromszög egyenlő 5 és 6 cm. a köztük lévő szög értéke 60 °. Keresse meg a háromszög területe.

A probléma megoldására használjuk a képlet második számú elméleti része a leckét.
A háromszög területe megtalálható keresztül a hossza a két oldalát és a szinusz a szög Mezhuyev őket, és egyenlő
S = 1/2 ab sin γ

Mivel az összes szükséges adatot a megoldás (a következő képlet szerint) van, már csak helyettesíteni az értéke a feladat szempontjából a képlet:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

A táblázat a trigonometrikus függvény értékeket találni, és helyettesíti a kifejezés értéke a szinusz 60 fok. Ez lesz egyenlő a négyzetgyök három kettővel.
S = 15 √3 / 2

Válasz. 7,5 √3 (attól függően, hogy a követelmények a tanár valószínűleg elhagyják a 15. és √3 / 2)

Keresse meg a területet egy egyenlő oldalú háromszög oldalai 3 cm.

A háromszög területe megtalálható a Heron-képlet:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Mivel a = b = c oldalú háromszög területe képletű válik:

Hányszor növeli a háromszög területe, ha a felek növelése 4-szer?

Mivel az oldalán a háromszög méretek számunkra ismeretlen, akkor a probléma megoldására, azt feltételezzük, hogy a oldalainak hossza egyenlő tetszőleges számban a, b, c. Aztán, hogy a választ a probléma, azt látjuk, a háromszög területe, majd keresse meg a háromszög területe, amelynek oldalai négyszer nagyobb. Az arány a területeket e háromszögek és adja meg a választ a problémára.

Ezután bemutatjuk a szöveges magyarázat a probléma megoldásának lépésről lépésre. Azonban, a végén, ugyanezt a megoldást egy olyan olvasható grafikus formában. Bárki csak megy le az aljára a megoldás.

A megoldások Heron-képlet (lásd. A fenti az elméleti részben a lecke). Úgy néz ki, az alábbiak szerint:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(Lásd. A alsó első minta karakterlánc)

egy tetszőleges hossza az oldalán egy háromszög definiált változók a, b, c.
Ha a felek, hogy növelje 4-szer, az új háromszög területe lehet:

S2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4C))
(Lásd. A második sor az alábbi ábrán)

Amint látható, 4 - közös tényező, hogy figyelembe lehessen venni a négy kifejezést az általános szabályok a matematika.
majd

S2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a harmadik vonalminta
S2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - negyedik sor

A 256 tökéletesen kivont négyzetgyök, ezért kivitte a gyökér
S2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(Lásd. Az ötödik sor rajz alább)

A válasz a feltett kérdésre a problémát, meg kell osztania a háromszög területe, a kezdeti területen.
Definiáljuk az arány a területek, elosztjuk az expressziós egymásra, és csökkenti a kapott frakciót.

S2 / S = 16
(Lásd alább részletezi a rekordot egy frakció, és csökkenti azt -. Az utolsó sor)

Ábra számítás logika fent leírt megoldások, látható már a formájában (egymás után)

Válasz. A háromszög területe növekedni fog a 16-szor