számsor
A természetes számok halmaza, hogy létrehozzák a száma 1, 2, 3, 4 használt számlálási tárgyak. A készlet minden egész általában betűvel jelöljük N:
Ez végtelen halmaz, akkor a legkisebb elem az 1. és a legnagyobb eleme. Néha a természetes számok adjuk 0, akkor ez lesz a legkisebb eleme.
Ezenkívül törvények egész
1. Minden pozitív egész szám és b, az egyenlőség a + b = b + a. Ezt a tulajdonságot nevezzük kommutatív (kommutatív) kívül a törvény.
2. Minden olyan természetes számok. b. c egyenlőség (a + b) + c = a + (b + c). Ezt a tulajdonságot nevezzük sochetalnym (asszociatív) hozzáadjuk a törvény.
A törvények szaporodása természetes számok
3. bármely pozitív egész szám a és b, az egyenlő ab = ba. Ezt a tulajdonságot nevezzük kommutatív (kommutatív) szorzás jog.
4. Minden olyan természetes számok. b. egyenlőség c (ab) c = a (bc). Ezt a tulajdonságot nevezzük sochetalnym (asszociatív) szorzás jog.
5. Bármely értékeit. b. c egyenlőség (a + b) c = AC + bc. Ezt a tulajdonságot nevezzük elosztó (elosztó) szorzás jog (a felül).
6. minden érték a valódi egyenlőség * 1 = a. Ezt a tulajdonságot nevezzük a törvény a szorzás egy.
Az eredmény hozzáadásával vagy szaporodása két egész szám mindig pozitív egész szám. Vagy más szavakkal, ezeket a műveleteket lehet elvégezni tartózkodik a természetes számok halmaza. Under kivonás és osztás lehetetlen azt mondják: igen, a 3-as szám nem marad a természetes számok halmaza, vonjuk ki a 7-es szám; száma 15 nem lehet osztva 4 egyenletesen.
Jelek oszthatóság természetes számok
Elkülöníthetőség összeget. Ha minden távon van osztva egy számot, akkor az összeg osztva ezt a számot.
Elkülöníthetőség termék. Ha a munka legalább az egyik tényező osztható néhány számot, majd a terméket osztva ezt a számot.
Ezek a feltételek az összeg és a termék elegendő, de nem szükséges. Például, a terméket 12 * 18 osztva 36, bár egyik sem 12, sem 18-36 nincsenek osztva.
Oszthatóság 2. Ahhoz, hogy egy pozitív egész szám osztható 2 akkor és csak akkor, ha az utolsó számjegy volt még.
Oszthatóság 5. Ahhoz, hogy egy pozitív egész szám osztható 5 ha és csak akkor, ha az utolsó számjegyét akár 0 vagy 5.
Tünet oszthatóság 10. A természetes szám osztható 10, szükséges és elégséges, hogy az egységek számát 0.
Tünet oszthatóság 4. természetes szám, amelynek nem kevesebb, mint három számjegy 4-gyel osztható, szükséges és elégséges, hogy az utolsó számokat 00, 04, 08 vagy kétjegyű szám által alkotott utolsó két számjegye, osztható 4.
oszthatóság 2. jelenség (9). A természetes szám osztható 3 (9), szükséges és elégséges, hogy a számok összege osztva 3 (9).
Tekintsük a szám sor elején a referencia koordináta azt a pontot O. száma nullára fog mutatni O. A számok találhatók a számegyenesen egy előre meghatározott irányba, az úgynevezett pozitív számok. Tegyük fel, hogy a számegyenesen van beállítva a koordináta pont 3. megfelel a pozitív szám 3. Postpone most háromszor egység intervallum attól a ponttól O. az ellenkező irányba, hogy a megadott érték. Ezután megkapjuk a pont”. Egy pont szimmetrikus az eredete O. koordinátái pont „lesz a szám - 3. Ez a 3. ábrán látható számok ellentett elhelyezve a számegyenesen ellenkező irányban a megadott nevű negatív számok.
Számok szembenálló természetes formában egy sor egész n „:
Ha kombináljuk a több N. N „és Singleton. megkapjuk a beállított Z egész számok:
Mert egész kijavítani az összes fenti összeadás és a szorzás törvényeket, amelyek érvényesek a természetes számok. Emellett hozzáadja a következő kivonási törvények:
Ahhoz, hogy megvalósítható a művelet osztásának egész számok tetszőleges számú, nullától a frakció bemenet:
, ahol a és b - b egész számok, és nem egyenlő nullával.
Ha egy egész számok, hogy csatlakoztassa a készlet minden pozitív és negatív frakciók, megkapjuk a racionális számok Q:
Továbbá, minden egész is egy racionális szám, mivel például, 5-ös szám lehet leírni, ahol a számláló és a nevező - egész számok. Fontos a műveletek racionális számok, amelyek közül az egyik egész számnak kell lennie.
A törvények számtani műveletek racionális számok
A fő tulajdonsága frakciók. Ha a számláló és a nevező e frakció szorzata vagy hányadosa ugyanaz a természetes szám, akkor kap egy lövést, ami megegyezik a következő:
Ez a tulajdonság a csökkentésében frakciókban.
Ezenkívül a frakciók. Hozzáadása frakciók a következőképpen határozzuk meg:
Azaz, hogy adjunk frakciók különböző nevezőket csökkennek a közös nevező. A gyakorlatban, ha az adagolást (kivonás) frakciók különböző nevezők frakciókat csökken a legkisebb közös nevező. Például így:
Hozzáadásához frakciókat ugyanazzal a számláló ahhoz, hogy hajtsa a számláló és a nevező ugyanaz marad.
Szorzás a frakciók. Szorzás frakciók a következőképpen határozzuk meg:
Ez azt jelenti, hogy szaporodnak a frakció egy része a számláló az első frakció kell szorozni a számlálóban a második frakció és írni a termék a számlálóban az új frakció, a nevező az első frakció szorozva a nevező a második frakció és rögzíti egy új termék a nevezőben a frakcióból.
Division of frakciók. Osztály frakciók a következőképpen határozzuk meg:
Ez azt jelenti, hogy osztja a frakció egy része a számláló az első frakció kell szorozni a nevező a második frakció és a terméket egy új rekordot a tört számlálója, a nevező az első frakció szorozva a számlálóban a második frakció és a terméket egy új rekordot a nevezőben a frakcióból.
Az építőiparban a hatalom frakció természetes kitevő. Ez a művelet a következőképpen definiálható:
Azaz, az építőiparban a mértéke a tört számlálója a megemelt mértékének és a nevező emeljük ezt a fokozatot.
Ismétlődő tizedes
Tétel. Bármilyen racionális szám felírható véges vagy végtelen periodikus frakciót.
Ezt követően egymás után ismétlődő számcsoport a tizedespont után a decimális szám az úgynevezett időszakban, és egy véges vagy végtelen tizedes frakció, amelynek időszak egy linket az úgynevezett időszakos.
Így bármely véges tizedes tekinthető végtelen periodikus frakciót nulla közötti időszakban, például:
Az eredmény összeadás, kivonás, szorzás és osztás (kivéve osztás nullával) két racionális - is racionális szám.
A számegyenesen, ami már úgy kapcsán az egész számok lehetnek a lényeg, hogy nincs koordináták formájában racionális szám. Tehát van egy racionális szám, amelynek négyzete egyenlő 2. Ezért a szám nem racionális szám. Mivel nincs racionális számok amelynek négyzetre 5, 7, 9. Következésképpen, irracionális számok ,. Ez egy irracionális szám, és.
Nem irracionális szám nem ábrázolható, mint egy periodikus frakciót. Ezek formájában nem periodikus frakciók.
Ötvözi készletek racionális és irracionális számok jelentése a valós számok halmaza R.
Az axiómák az intézkedés a valós számok
hozzátéve axiómák. Bármely a. b. R c a több valós számok már a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
IV. Minden a ∈ R, létezik egy számot b ∈ R. hogy a + b = 0. Ezt a számot nevezzük a szemközti szám B és jelöli egy - egy.
Axiom IV bevezetését teszi lehetővé a kivonási művelet a valós számok halmaza a különbség a - b jelentette az a + (- b).
Az axiómák szorzás. Bármely a. b. R c a több valós számok már a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
VIII. A bármilyen nem zéró számot a ∈ R, létezik egy számot b ∈ R. hogy AB = 1. Ezt a számot a B a inverz számát a és jelöljük.
Axióma VIII bevezetését teszi lehetővé osztási művelet a valós számok halmaza alatt értendő a termék, ahol a b ≠ 0.
Archimédeszi tulajdonság. Tetszőleges pozitív valós számok a és b, létezik egy természetes szám n. hogy na> b.
Komplex számok kerülnek bevezetésre annak a ténynek köszönhető, hogy a valós számok ahhoz, hogy megoldja minden másodfokú egyenlet valós együtthatós. A legegyszerűbb másodfokú egyenlet, hogy nincs gyökere között valós számok, akkor
A megoldás a következő: x² = - 1. X = √-1,
√-1 itt - a négyzetgyök mínusz egy - az imaginárius egység, betűvel jelöljük i.
Komplex számok és műveletek rájuk oly sok kiváló tulajdonsággal, hogy ők tekinthetők egy külön cikket a honlapon:
Egy nem üres halmaz (általában számok) nevezzük egy algebrai struktúra, ha meghatározható bármely művelet, amely bizonyos tulajdonságokkal. A matematikában gyakran tekintik algebrai struktúrák, mint a csoport, és a mező gyűrűt.
Csoport egy véges vagy végtelen számú (általában számok), amelyek:
1) úgy definiáljuk művelet (például, szorzás), amely lehet tenni anélkül, hogy eltérnénk a csoport;
2) az elemek sokaságát végezzük sochetalny (asszociatív) Act (bármely a. B. C közötti egyenlőség (ab) c = a (bc)).
3) van egy úgynevezett egy e elem;
4) minden egyes eleme egy ez a készlet van egy inverz elem olyan, hogy a talp.
Ha kommutatív (kommutatív) csoport jog (bármely a és b, az egyenlő ab = ba), akkor az ilyen csoport az úgynevezett kommutatív vagy Abel-csoport.
Csoport, ahol a szorzást művelet a multiplikatív csoportjában. Ha a csoport összeadást, a csoport az úgynevezett additív. Ebben az esetben, egy elem Z jelenik meg, mint egy egyetlen elem. és minden egyes elem van egy egyetlen elem szemközti (- a), amelyre a (- a) = A + A + (- a) = z.
N természetes számot egy csoportot alkotnak ellen szorzás. Ezenkívül a csoport működését a természetes számok halmaza nem lehet végrehajtani, mert a nulla kívül meg N. Egy sor pozitív valós számok egy csoport tekintetében a szorzás és a készlet minden valós számok R - csoport tekintetében felül (ezen halmaz nem tud belépni a kölcsönös nulla).
A készlet az úgynevezett mező, ha ez a készlet legalább két elem és azok
1) egy összeadási művelet;
1 „) által meghatározott szorzás művelet;
2) a hozzáadásával végezzük asszociatív (asszociatív) törvény;
2 „) a szorzás elvégzett asszociatív (asszociatív) törvény;
3) hozzáadásával végrehajtott kommutatív (kommutatív) törvény;
3 „) a szorzás elvégzett kommutat'ıv (kommutatív) törvény;
4) kivonva működése is megvalósítható;
4 „) kielégíthető osztási művelet, mint nullával osztani.
Bármely térelemek a és b van olyan x. hogy a + x = b.
Bármely térelemek a és b van olyan y. hogy a * y = b. ha a ≠ 0.
Az olyan területen, a teljesítmény elosztó (elosztó) törvénye szorzás (tekintetében felül): (a + b) c = AC + bc.
Tegye készlet komplex számok, valós számok, racionális számok és egészek közös jellemzője: végezhet műveleteket összeadás, szorzás és kivonás, miközben meghatározott korlátokon belül.
Mindegyik számok halmaza, amely tartalmazza az összeg, a termék és a különbség bármely két szám, az úgynevezett gyűrű.
Gyűrűt alkot, például páros számok. Az viszont páratlan számok nem alkotnak gyűrűt, mivel az összeg páratlan szám - páros szám.
Algebrai struktúrák gyakran egyszerűen csak „algebra”. Hozzá vannak szokva az absztrakt modellezés. Különösen, hogy lehet alkalmazni a programozás. Például, amikor szükséges, hogy meghatározza a szabályokat és tulajdonságait bármilyen szerkezet és megtiltja a mellett ez elem szerkezet, amely (addíció) sértené a szabályokat és tulajdonságait a szerkezet.